自己相関係数とコレログラム（統計検定2級 S4.1）

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補足資料の解説記事

時系列データでは「今月の値」と「1か月前の値」「12か月前の値」がどれくらい似ているかが重要です。同じ系列を時間をずらして自分自身と比べる相関が自己相関係数で、それを時差（ラグ）ごとに並べた図がコレログラムです。周期や傾向の有無を一目で判断できます。

公式（ラグ $k$ の標本自己相関係数）$$r_k=\frac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_t-\bar x)(x_{t+k}-\bar x)}{\sum_{t=1}^{n}(x_t-\bar x)^2}$$常に $r_0=1$、$-1\le r_k\le1$。

なぜこの形か
分子は $k$ 時点離れた値どうしの偏差の積（共分散に相当）、分母は系列全体の変動です。分子の項数は $n-k$ 個しかありませんが、平均と分母には系列全体を使います。$x_t$ と $x_{t+k}$ の2列を作ってピアソンの相関係数を計算した値とは、厳密には一致しません。

周期4の系列 $2,4,6,4,2,4,6,4$ を考えます。平均は $4$、偏差は $-2,0,2,0,-2,0,2,0$、分母は $16$。

周期の半分（$k=2$）で負の谷、周期（$k=4$）で正の山ができています（図1）。$r_4$ が 1 にならないのは、分子の項数が減るのに分母は全体のままだからです。月次データなら $k=12$、四半期データなら $k=4$ の山が季節変動の証拠になります。

ひっかけ

得点のコツ
コレログラムを選ぶ問題では、(1) どのラグで山があるか → 周期、(2) 減衰がゆっくりか → トレンド、(3) すべて小さいか → ランダム、の順に判断する。月次データの原系列と、それを12か月移動平均した系列を比べる問題もよく出る。移動平均すると季節性の山は消える。

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