Q-Qプロット —「正規分布とみなせるか」を目で確認（統計検定2級 S2.2）
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補足資料の解説記事
t 検定や回帰分析の多くは「データ（誤差）が正規分布に従う」ことを前提にしています。Q-Q プロットは、その前提が妥当かどうかを、点が直線に乗るかどうかで目視確認する図です。
作り方
① データを小さい順に並べる：$x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}$
② $i$ 番目に累積確率 $p_i=\dfrac{i-0.5}{n}$ を割り当てる
③ 標準正規分布で下側確率が $p_i$ となる点 $z_i$ を求める
④ 点 $(z_i,\ x_{(i)})$ を打つ（横軸：理論分位点、縦軸：標本分位点）
① データを小さい順に並べる：$x_{(1)}\le x_{(2)}\le\cdots\le x_{(n)}$
② $i$ 番目に累積確率 $p_i=\dfrac{i-0.5}{n}$ を割り当てる
③ 標準正規分布で下側確率が $p_i$ となる点 $z_i$ を求める
④ 点 $(z_i,\ x_{(i)})$ を打つ（横軸：理論分位点、縦軸：標本分位点）
なぜ直線になるのか
データが平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従えば、その $p$ 分位点は $\mu+\sigma z_p$ です。つまり標本の分位点と標準正規の分位点は1次式の関係にあり、点は切片 $\mu$・傾き $\sigma$ の直線の近くに並びます。直線からのずれ方で、どんな形で正規分布と違うかがわかります。
データが平均 $\mu$、標準偏差 $\sigma$ の正規分布に従えば、その $p$ 分位点は $\mu+\sigma z_p$ です。つまり標本の分位点と標準正規の分位点は1次式の関係にあり、点は切片 $\mu$・傾き $\sigma$ の直線の近くに並びます。直線からのずれ方で、どんな形で正規分布と違うかがわかります。
数値例（n = 5）
データ 42, 47, 50, 53, 58。$p_i=0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9$ に対応する $z_i$ は −1.28, −0.52, 0, 0.52, 1.28。点はほぼ一直線に並び（直線 $50+6z$ に近い）、正規分布と矛盾しないと判断できます。
| 点の並び方（横軸＝理論、縦軸＝データ） | 分布の特徴 |
|---|---|
| ほぼ直線 | 正規分布に近い |
| 下に凸の弓なり（右端が上に反る） | 右に裾が長い（正の歪度） |
| 上に凸の弓なり（左端が下に垂れる） | 左に裾が長い（負の歪度） |
| S字（左端が下・右端が上に外れる） | 両裾が重い（尖度が大きい、t 分布型） |
| 逆S字（両端が直線の内側へ寝る） | 両裾が軽い（一様分布型） |
ひっかけ
- 軸の取り方（データを縦軸か横軸か）で曲がり方の見た目が逆になる。まず軸のラベルを確認する。
- 直線の傾きは標準偏差、切片（$z=0$ の高さ）は平均の目安。傾きが1でなくても正規性は否定されない。
- データ数が少ないと、正規分布からのデータでも両端は多少ぶれる。わずかなずれで正規性を否定しない。
- ヒストグラムより階級の切り方に左右されにくいのが利点。
コツ：「端の点がどちらへ逃げるか」だけ見れば十分。右端が上に逃げれば右裾が長い、両端が外へ逃げれば裾が重い。回帰分析では残差の Q-Q プロットで誤差の正規性を確認します。
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