尖度 — 裾の重さ・尖り（統計検定2級 S1.2）
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補足資料の解説記事
尖度（せんど）は、正規分布と比べて「極端な値がどれくらい出やすいか（裾の重さ）」と、それに伴う中心の尖り具合を表す指標です。リスク管理など、まれな大きな外れに備えたい場面で重要になります。
定義
$$\text{尖度}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4$$ 正規分布では 3。超過尖度（＝尖度 − 3）で定義する流儀では正規分布が 0。
尖度 > 3（超過尖度 > 0）：正規分布より裾が重い／尖度 < 3：裾が軽い
$$\text{尖度}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(\frac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4$$ 正規分布では 3。超過尖度（＝尖度 − 3）で定義する流儀では正規分布が 0。
尖度 > 3（超過尖度 > 0）：正規分布より裾が重い／尖度 < 3：裾が軽い
なぜ4乗なのか
4乗は常に正で、平均から遠い値ほど急激に大きく効きます。そのため裾に値がどれだけあるかに敏感です。標準化してから4乗するので、単位によらない無次元量になります。
4乗は常に正で、平均から遠い値ほど急激に大きく効きます。そのため裾に値がどれだけあるかに敏感です。標準化してから4乗するので、単位によらない無次元量になります。
| 分布 | 尖度 | 超過尖度 | 特徴 |
|---|---|---|---|
| 一様分布 | 1.8 | −1.2 | 裾がなく平ら |
| 正規分布 | 3 | 0 | 基準 |
| 自由度 5 の t 分布 | 9 | 6 | 正規分布より裾が重い |
| 指数分布 | 9 | 6 | 右に裾が重い（歪度も 2） |
数値例
データ 2, 4, 4, 4, 6：平均 4、偏差 −2, 0, 0, 0, 2。$s^2=8/5=1.6$、偏差の4乗の平均 $32/5=6.4$、尖度 $=6.4/1.6^2=2.5$（正規分布より裾が軽い）。全体を2倍した 4, 8, 8, 8, 12 でも尖度は 2.5 のままです。
外れ値に敏感：2, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 6, 6 の尖度は約 3.30 ですが、最後の 6 を 14 に変えるだけで約 6.92 に跳ね上がります。4乗の効果で、1個の極端な値が尖度を大きく動かします。
極端な例：−1, −1, 1, 1 では全員が平均から同じ距離にあり、尖度は最小値の 1。一般に 尖度 ≧ 歪度² + 1 が成り立ちます。
ひっかけ
- 基準が「3」か「0」かは流儀による。問題文の定義を必ず確認する（Excel などは超過尖度に近い補正値を返す）。
- 尖度は「山の高さ」そのものではない。分散をそろえたうえで裾に重みがあると、中央も尖って見えるという関係。
- 尖度は平行移動・定数倍（$b\ne0$、負でも）で変わらない。4乗なので符号反転の影響も受けない。
- t 分布は自由度が大きくなるほど尖度が 3 に近づき、正規分布に近づく。
コツ：「3乗は向き（歪度）、4乗は裾（尖度）」。歪度は正負どちらもとり得るが、尖度は必ず 1 以上の正の値、と押さえると選択肢の誤りを見抜きやすくなります。
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