適合度検定 — 理論比率に合っているか（統計検定2級 9.2）
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第9章 カイ二乗検定の解説記事
適合度検定は、観測された度数の分布が、理論や仮説で想定した比率（遺伝の法則、一様分布、ポアソン分布など）に当てはまっているかを調べる検定です。
適合度検定
$H_0$：各カテゴリの確率は $p_1,p_2,\dots,p_k$ である
期待度数 $E_i=np_i$、統計量 $\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$
自由度 $=k-1-m$（$k$：カテゴリ数、$m$：データから推定した母数の数）
$H_0$：各カテゴリの確率は $p_1,p_2,\dots,p_k$ である
期待度数 $E_i=np_i$、統計量 $\chi^2=\displaystyle\sum_{i=1}^{k}\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$
自由度 $=k-1-m$（$k$：カテゴリ数、$m$：データから推定した母数の数）
なぜ自由度は $k-1$ から始まるのか
度数の合計 $n$ は決まっているので、$k-1$ 個のカテゴリの度数が決まれば最後の1つは自動的に決まります。さらに、ポアソン分布の $\lambda$ などをデータから推定すると、理論分布をデータに寄せたぶんだけ自由に動ける部分が減るので、推定した母数1個ごとに自由度が1減ります。
度数の合計 $n$ は決まっているので、$k-1$ 個のカテゴリの度数が決まれば最後の1つは自動的に決まります。さらに、ポアソン分布の $\lambda$ などをデータから推定すると、理論分布をデータに寄せたぶんだけ自由に動ける部分が減るので、推定した母数1個ごとに自由度が1減ります。
| 場面 | 期待度数 | 自由度 |
|---|---|---|
| 理論比 9:3:3:1 に合うか | $n\times 9/16$ など | $4-1=3$ |
| サイコロ（6面）の一様性 | $n/6$ | $6-1=5$ |
| 曜日別件数が一様か | $n/7$ | $7-1=6$ |
| ポアソン分布（$\lambda$ を推定）、5 階級 | $n\times P(X=x)$ | $5-1-1=3$ |
| 正規分布（$\mu,\sigma$ を推定）、8 階級 | $n\times$ 階級の確率 | $8-1-2=5$ |
数値例1：理論比 9:3:3:1
160 個体を分類し、観測度数が 100, 24, 26, 10。期待度数は $160\times\tfrac{9}{16}=90$、30、30、10。
$\chi^2=\dfrac{10^2}{90}+\dfrac{6^2}{30}+\dfrac{4^2}{30}+0\approx1.111+1.200+0.533=2.84$。自由度3の上側 5% 点 7.815 より小さいので、$H_0$ は棄却されず、理論比と矛盾するとはいえません。
数値例2：サイコロの一様性
60 回振って各目が 8, 12, 9, 11, 6, 14 回。期待度数は各 10。$\chi^2=(4+4+1+1+16+16)/10=4.2$、自由度5の上側 5% 点 11.07 未満なので「偏りがある」とはいえません。
ひっかけ
- 母数を推定したのに自由度を $k-1$ のままにする。推定した母数の数だけ引きます。
- 期待度数が 5 未満の階級を併合したときは、併合後の階級数 $k$ で自由度を数えます。
- 「棄却されない＝理論比に従うことが証明された」ではありません。
得点のコツ
一様性の検定なら期待度数がすべて同じなので、$\chi^2=\dfrac{\sum(O_i-E)^2}{E}$ と分母をまとめて計算すると速くなります。自由度を問う問題が頻出なので「カテゴリ数−1−推定した母数の数」を合言葉にしましょう。統計量の意味は「χ²検定の共通の検定統計量」の記事を参照してください。
一様性の検定なら期待度数がすべて同じなので、$\chi^2=\dfrac{\sum(O_i-E)^2}{E}$ と分母をまとめて計算すると速くなります。自由度を問う問題が頻出なので「カテゴリ数−1−推定した母数の数」を合言葉にしましょう。統計量の意味は「χ²検定の共通の検定統計量」の記事を参照してください。
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