χ²検定の共通の検定統計量 — 観測と理論のズレを測る（統計検定2級 9.1）

このページはプロモーション（広告）を含みます。

第9章 カイ二乗検定の解説記事

度数データ（何個・何人と数えたデータ）の検定では、「実際に観測した度数」と「仮説が正しいときに期待される度数」のズレを1つの数にまとめて判断します。適合度検定も独立性の検定も、このズレの測り方は共通です。

ピアソンの $\chi^2$ 統計量$$\chi^2=\sum_{\text{全セル}}\frac{(O-E)^2}{E}$$$O$：観測度数、$E$：$H_0$ のもとでの期待度数。$H_0$ が正しく度数が十分大きいとき、近似的に $\chi^2$ 分布に従う。上側だけに棄却域をとる。
なぜ $E$ で割るのか・なぜ2乗するのか
2乗するのは、プラスのズレとマイナスのズレが打ち消し合わないようにするためです。$E$ で割るのは、度数のばらつき（分散）がおよそ期待度数に比例するからです。期待度数 1000 に対する 10 のズレはよくあることですが、期待度数 10 に対する 10 のズレは大事件です。$E$ で割ることで、ズレを「そのセルでよくある大きさ」を基準に測れます。
性質内容
とりうる値0 以上。$O=E$ がすべて成り立つとき 0
棄却域右側（上側）のみ。ズレが大きいほど $H_0$ に不利
自由度自由に決められるセルの数（適合度 $k-1-$推定母数の数、独立性 $(r-1)(c-1)$）
近似の条件各セルの期待度数がおおむね 5 以上。小さいセルは隣と併合する
使うデータ度数そのもの。割合や平均を直接入れてはいけない

数値例：コイン投げ

コインを 100 回投げて表 60 回。$H_0$：表の確率 1/2 のもとで期待度数は表 50、裏 50。

$\chi^2=\dfrac{(60-50)^2}{50}+\dfrac{(40-50)^2}{50}=2+2=4.0$。自由度は $2-1=1$、上側 5% 点 3.841 を超えるので棄却します。

同じデータを比率の z 検定で行うと $z=\dfrac{0.6-0.5}{\sqrt{0.25/100}}=2.0$ で、$z^2=4.0=\chi^2$ となります。自由度1の $\chi^2$ 分布は標準正規分布の2乗の分布で、$1.96^2\approx3.841$ も一致しています。

ひっかけ
得点のコツ
計算の前に、期待度数の合計が観測度数の合計と一致すること、$O-E$ の合計が 0 になることを確かめましょう。検算になり、計算ミスをすぐ見つけられます。具体的な手順は「適合度検定」「独立性の検定」の記事で扱います。

統計検定2級 合格ナビ：統計検定2級の問題集アプリ。本番と同じ5択・数値表と電卓で解くオリジナル問題173問と、35問90分の模擬試験。解説記事・公式集・数値表と第1・2章の問題は登録なしで無料。全問は1,480円の買い切り。

アプリを無料で開く有料版と無料版の違い