2標本の検定 — まず「対応」の有無を判定する（統計検定2級 8.5）
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第8章 仮説検定の解説記事
2つのグループを比べる検定では、式を選ぶ前に「データに対応があるか」を判定するのが最初の分かれ道です。同じ人の前後や、ペアにした組の比較なら対応あり、別々の人の集団なら対応なしです。
対応あり：差 $d_i=x_i-y_i$ を1標本とみて $T=\dfrac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
対応なし・等分散：$s_p^2=\dfrac{(m-1)s_1^2+(n-1)s_2^2}{m+n-2}$、$T=\dfrac{\bar{x}-\bar{y}}{s_p\sqrt{1/m+1/n}}\sim t(m+n-2)$
比率の差：$\hat{p}=\dfrac{x_1+x_2}{m+n}$、$Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\hat{p}(1-\hat{p})(1/m+1/n)}}\approx N(0,1)$
等分散性：$F=s_1^2/s_2^2\sim F(m-1,\,n-1)$
同じ人の前後では、個人差（もともと高い人は後も高い）が両方の測定に共通して入ります。差をとると個人差が打ち消され、ばらつきが小さくなって検出力が上がります。対応ありのデータを対応なしとして扱うと、この利点を捨てることになります。
| 状況 | 検定 | 自由度 |
|---|---|---|
| 同じ対象の前後・ペア | 対応のある t 検定 | $n-1$（ペア数−1） |
| 独立2群・等分散を仮定 | プールした 2 標本 t 検定 | $m+n-2$ |
| 独立2群・等分散を仮定しない | ウェルチの t 検定 | 近似式で求める |
| 独立2群の比率 | 比率の差の z 検定 | ― |
| 2群の分散が等しいか | F 検定 | $(m-1,\ n-1)$ |
数値例1：対応のある t 検定
5人の前後差が 3, 1, 4, 2, 5。$\bar{d}=3$、$s_d^2=2.5$、$s_d/\sqrt{5}\approx0.707$、$t\approx4.24$。$t_{0.025}(4)=2.776$ より両側 5% で有意差あり。
数値例2：プールした t 検定と F 検定
$m=n=10$、$\bar{x}=52$、$\bar{y}=48$、$s_1^2=20$、$s_2^2=16$。まず $F=20/16=1.25$、両側 5% なら上側 2.5% 点 $F_{0.025}(9,9)=4.03$ と比べて等分散は棄却されない。$s_p^2=(9\times20+9\times16)/18=18$、標準誤差 $\sqrt{18\times(1/10+1/10)}\approx1.897$、$t\approx2.11$。$t_{0.025}(18)=2.101$ をわずかに超えるので両側 5% で棄却します。
数値例3：比率の差
A群 200人中 60人（0.30）、B群 200人中 45人（0.225）。プールした $\hat{p}=105/400=0.2625$、標準誤差 $\sqrt{0.2625\times0.7375\times(2/200)}\approx0.0440$、$z\approx1.70$。両側 p 値 $\approx2\times0.0446=0.089$ で 5% では有意でありません。
- 「同じ被験者」「左右の手」「双子」などは対応あり。人数が同じだけでは対応ありとはいえません。
- F 検定は大きいほうの分散を分子にし、両側検定なら上側 2.5% 点と比べるのが基本です。
- 比率の差の検定では、2群を合わせた $\hat{p}$ で標準誤差を作ります（$H_0:p_1=p_2$ のもとでの共通の比率）。
「対応あり？」→「比べるのは平均・比率・分散のどれ？」→「等分散を仮定する？」の順に分岐すれば、ほとんどの2標本問題は機械的に選べます。自由度は、対応ありなら $n-1$、プールした t なら $m+n-2$ と即答できるようにしておきましょう。
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