1標本の検定（統計検定2級 8.4）
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第8章 仮説検定の解説記事
1つの母集団から取った標本を使って、母平均・母比率・母分散が基準値と異なるかを調べるのが1標本の検定です。どの母数を調べるのか、母分散が既知か未知かで、使う統計量と分布が決まります。
3つの基本公式（$H_0$ のもとでの分布）
母平均（$\sigma$ 既知）：$Z=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
母平均（$\sigma$ 未知）：$T=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
母比率（$n$ 大）：$Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx N(0,1)$
母分散：$\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$
（$s^2$ は $n-1$ で割る不偏分散）
母平均（$\sigma$ 既知）：$Z=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)$
母平均（$\sigma$ 未知）：$T=\dfrac{\bar{X}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$
母比率（$n$ 大）：$Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}\approx N(0,1)$
母分散：$\chi^2=\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma_0^2}\sim\chi^2(n-1)$
（$s^2$ は $n-1$ で割る不偏分散）
なぜ σ 未知だと t 分布になるのか
$\sigma$ を標本から推定した $s$ で置き換えると、分母もばらつくぶん統計量の裾が正規分布より重くなります。この裾の重さを正確に表すのが自由度 $n-1$ の t 分布です。$n$ が大きいと $s$ が安定し、t 分布は標準正規分布に近づきます。
$\sigma$ を標本から推定した $s$ で置き換えると、分母もばらつくぶん統計量の裾が正規分布より重くなります。この裾の重さを正確に表すのが自由度 $n-1$ の t 分布です。$n$ が大きいと $s$ が安定し、t 分布は標準正規分布に近づきます。
| 調べたいこと | 条件 | 統計量・分布 | 5%臨界値の例 |
|---|---|---|---|
| 母平均 | $\sigma$ 既知 | z／$N(0,1)$ | 両側 1.96、片側 1.645 |
| 母平均 | $\sigma$ 未知 | t／$t(n-1)$ | $n=10$ 両側 2.262 |
| 母比率 | $np_0,\ n(1-p_0)$ が十分大 | z／$N(0,1)$（正規近似） | 両側 1.96 |
| 母分散 | 正規母集団 | $\chi^2(n-1)$ | $n=10$ 上側 16.919 |
数値例1：母比率の検定
ある政策の賛成率が 50% と異なるかを調べる。$n=400$ 人中 220 人が賛成（$\hat{p}=0.55$）。$H_0:p=0.5$、$H_1:p\neq0.5$。
$\sqrt{0.5\times0.5/400}=0.025$、$z=\dfrac{0.55-0.5}{0.025}=2.0$。両側 p 値 $=2\times0.0228=0.0456\lt0.05$ なので、5% 水準で「賛成率は 50% と異なる」といえます。
数値例2：母平均の t 検定（片側）
新しい製法で強度が上がったか。従来の平均 100、新製法 $n=16$ で $\bar{x}=103$、$s=6$。$H_1:\mu\gt100$ として $t=\dfrac{3}{6/4}=2.0$。$t_{0.05}(15)=1.753$ を超えるので 5% で棄却し、「強度は上がった」と判断します。
ひっかけ
- 母比率の検定では標準誤差に $H_0$ の値 $p_0$ を使います。$\hat{p}$ を使うのは信頼区間のとき。混同しやすい定番です。
- $\sigma$ 未知なのに 1.96 を使う。t 分布の自由度 $n-1$ の値を使います。
- 標準誤差の $\sqrt{n}$ を忘れて $\sigma$ や $s$ でそのまま割る。
- $s$ が「標本標準偏差（$n$ で割る）」として与えられた場合は、不偏分散の平方根に直してから使います。
得点のコツ
問題文から「何の母数か」「σは既知か」「片側か両側か」の3点に印をつけてから式を選びましょう。t 検定と信頼区間は同じ材料（$\bar{x}$、$s$、$n$、$t$ 値）を使うので、「$\bar{x}\pm t_{0.025}(n-1)\,s/\sqrt{n}$ が $\mu_0$ を含むか」で両側検定の結論を確かめられます。
問題文から「何の母数か」「σは既知か」「片側か両側か」の3点に印をつけてから式を選びましょう。t 検定と信頼区間は同じ材料（$\bar{x}$、$s$、$n$、$t$ 値）を使うので、「$\bar{x}\pm t_{0.025}(n-1)\,s/\sqrt{n}$ が $\mu_0$ を含むか」で両側検定の結論を確かめられます。
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