母平均の区間推定（統計検定2級 7.3）
このページはプロモーション（広告）を含みます。
第7章 推定の解説記事
母平均の信頼区間は「標本平均 ± パーセント点 × 標準誤差」です。迷うのは、パーセント点を正規分布から取るか $t$ 分布から取るかの一点だけで、それは母分散が既知かどうかで決まります。
・$\sigma$ 既知：$\displaystyle \bar x\pm z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt n}$
・$\sigma$ 未知（正規母集団）：$\displaystyle \bar x\pm t_{\alpha/2}(n-1)\frac{s}{\sqrt n}$（$s$ は不偏分散の平方根）
・$n$ が大きい：$t$ の代わりに $z$ でもほぼ同じ
主なパーセント点：$z_{0.05}=1.645$（90%）、$z_{0.025}=1.96$（95%）、$z_{0.005}=2.576$（99%）
$\sigma$ を $s$ で置き換えると、分母の $s$ も標本ごとに揺れます。その揺れの分だけ $\frac{\bar X-\mu}{s/\sqrt n}$ は正規分布より裾が広くなり、それを正確に表すのが自由度 $n-1$ の $t$ 分布です。$n$ が大きいと $s$ がほぼ $\sigma$ に落ち着くので、$t$ と $z$ の差は消えていきます。
| 条件 | パーセント点 | 標準誤差 |
|---|---|---|
| 正規母集団・$\sigma$ 既知 | $z_{\alpha/2}$ | $\sigma/\sqrt n$ |
| 正規母集団・$\sigma$ 未知 | $t_{\alpha/2}(n-1)$ | $s/\sqrt n$ |
| 母集団の形は不明・$n$ 大 | $z_{\alpha/2}$（近似） | $s/\sqrt n$ |
| 2群の差（等分散） | $t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)$ | 「2標本の区間推定」の記事 |
| 単回帰の傾き | $t_{\alpha/2}(n-2)$ | 出力表の「標準誤差」 |
数値例（σ未知）
$n=10,\ \bar x=24.0,\ s=3.0$。SE $=3.0/\sqrt{10}\approx0.949$。$t_{0.025}(9)=2.262$ より、誤差幅 $2.262\times0.949\approx2.15$。95%信頼区間は $[21.85,\ 26.15]$。もし誤って $1.96$ を使うと幅が狭くなりすぎます。
必要な標本の大きさ
$\sigma$ 既知で誤差幅（片側の幅）を $E$ 以下にしたいなら $z_{\alpha/2}\sigma/\sqrt n\le E$ より $$n\ \ge\ \left(\frac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2$$ 例：$\sigma=10,\ E=2$、95%なら $(1.96\times10/2)^2=96.04$ → 切り上げて97。
検定・回帰とのつながり
95%信頼区間が値 $\mu_0$ を含まないことと、両側5%の $t$ 検定で $H_0:\mu=\mu_0$ が棄却されることは同じです。回帰係数の信頼区間も「推定値 $\pm\ t_{0.025}(n-2)\times$ 標準誤差」と同じ形で、出力表の数値をそのまま使えます。
・自由度は $n$ ではなく $n-1$。$t$ 表の行を1つずらすミスが多い。
・$s$ が「標本分散（$n$ 割り）」で与えられていたら、不偏分散に直してから使う。
・95%の両側区間では上側 $2.5\%$ 点（$\alpha/2$）を引く。$t_{0.05}$ を使うのは90%区間。
・必要な $n$ は小数を切り上げ（四捨五入ではない）。
最初に「$\sigma$ は与えられているか、$s$ しかないか」に丸をつけ、次に信頼係数から $\alpha/2$ を決めてパーセント点を引く、の順で解きます。誤差幅と区間の幅（誤差幅の2倍）のどちらを問われているかも確認しましょう。
統計検定2級 合格ナビ：統計検定2級の問題集アプリ。本番と同じ5択・数値表と電卓で解くオリジナル問題173問と、35問90分の模擬試験。解説記事・公式集・数値表と第1・2章の問題は登録なしで無料。全問は1,480円の買い切り。
アプリを無料で開く有料版と無料版の違い