二項分布の正規近似（統計検定2級 5.6）

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第5章確率変数と確率分布の解説記事

試行回数 $n$ が大きいと、二項分布の確率を ${}_n\mathrm{C}_x$ で1つずつ計算するのは現実的ではありません。そこで平均と分散が同じ正規分布で置き換えて、標準正規分布表で近似的に確率を求めます。母比率の区間推定や検定も、この近似の上に成り立っています。

公式
$X\sim B(n,p)$ で $n$ が十分大きい（目安：$np\ge5$ かつ $n(1-p)\ge5$）とき$$X\approx N\big(np,\ np(1-p)\big),\qquad \hat p=\frac Xn\approx N\!\left(p,\ \frac{p(1-p)}{n}\right)$$標本比率の標準誤差 $\sqrt{p(1-p)/n}$

なぜ正規分布になるのか $X$ は「成功なら1、失敗なら0」という独立な変数 $n$ 個の和です。中心極限定理により、独立な変数の和は $n$ が大きいと正規分布に近づきます。$p$ が0や1に近いと分布が偏るので、$np$ と $n(1-p)$ の両方がある程度大きいことが必要です。

連続修正

整数値しかとらない $X$ を連続な分布で近似するので、各整数 $k$ を区間 $[k-0.5,\ k+0.5]$ の面積とみなします。

二項分布での確率	正規分布での近似（Y は近似する正規変数）
$P(X\ge a)$	$P(Y\ge a-0.5)$
$P(X\le a)$	$P(Y\le a+0.5)$
$P(X\gt a)=P(X\ge a+1)$	$P(Y\ge a+0.5)$
$P(X=a)$	$P(a-0.5\le Y\le a+0.5)$

数値例

確率の近似：公正なコインを100回投げて表が60回以上出る確率。平均 $50$、標準偏差 $\sqrt{100\times0.5\times0.5}=5$。

連続修正あり：$z=\frac{59.5-50}{5}=1.9$、$Q(1.9)=0.0287$
連続修正なし：$z=\frac{60-50}{5}=2.0$、$Q(2.0)=0.0228$
正確な値は約 $0.0284$ で、連続修正ありのほうが近い。

母比率の信頼区間：$n=400$ 人中120人が賛成（$\hat p=0.3$）。標準誤差 $\sqrt{0.3\times0.7/400}\approx0.0229$、95%信頼区間は $0.3\pm1.96\times0.0229=0.3\pm0.045$ より約 $[0.255,\ 0.345]$。

母比率の検定：$H_0:p=0.5$ に対し $n=400$ で $x=220$（$\hat p=0.55$）。$z=\frac{0.55-0.5}{\sqrt{0.5\times0.5/400}}=\frac{0.05}{0.025}=2.0$。両側P値は $2\times0.0228=0.0456\lt0.05$ なので、有意水準5%で $H_0$ を棄却します。

ひっかけ 標準誤差に使う $p$ は場面で違います。検定では帰無仮説の値 $p_0$ を使い、信頼区間では推定値 $\hat p$ を使います。また連続修正の向き（$-0.5$ か $+0.5$ か）は、「以上」「以下」「より大きい」で変わるので、数直線に整数を並べて確認しましょう。

コツ比率 $\hat p$ で考えるか、回数 $X$ で考えるかを最初に決めて、平均・標準偏差の単位をそろえます。回数なら平均 $np$・標準偏差 $\sqrt{np(1-p)}$、比率なら平均 $p$・標準偏差 $\sqrt{p(1-p)/n}$ です。$z$ の値はどちらでも同じになります。

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