場合の数の復習 — 順列と組合せ（統計検定2級 4.1）
このページはプロモーション（広告）を含みます。
第4章 確率の解説記事
確率の計算は、突き詰めると「全部で何通りあるか」と「そのうち条件に合うのは何通りか」を数える作業になります。とくに二項分布や超幾何分布の確率関数には組合せの記号 $_n\mathrm{C}_r$ がそのまま入っているので、数え方の基本を確実にしておきましょう。
公式
順列（$n$ 個から $r$ 個を選んで並べる）：$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)\cdots(n-r+1)$$組合せ（$n$ 個から $r$ 個を選ぶだけ）：$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}$$性質：${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}$、${}_n\mathrm{C}_0={}_n\mathrm{C}_n=1$、$0!=1$
順列（$n$ 個から $r$ 個を選んで並べる）：$${}_n\mathrm{P}_r=\frac{n!}{(n-r)!}=n(n-1)\cdots(n-r+1)$$組合せ（$n$ 個から $r$ 個を選ぶだけ）：$${}_n\mathrm{C}_r=\frac{n!}{r!\,(n-r)!}=\frac{{}_n\mathrm{P}_r}{r!}$$性質：${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}$、${}_n\mathrm{C}_0={}_n\mathrm{C}_n=1$、$0!=1$
なぜ r! で割るのか 順列では「A→B」と「B→A」を別物として数えています。選んだ $r$ 個の並べ方は $r!$ 通りあるので、並び順を区別しない組合せは順列を $r!$ で割れば得られます。${}_n\mathrm{C}_r={}_n\mathrm{C}_{n-r}$ は「選ぶ $r$ 個を決めること」と「選ばない $n-r$ 個を決めること」が同じだからです。
使い分け
| 状況 | 数え方 | 例 |
|---|---|---|
| 順番を区別する・重複なし | ${}_n\mathrm{P}_r$ | 5人から委員長と副委員長：$5\times4=20$ |
| 順番を区別しない・重複なし | ${}_n\mathrm{C}_r$ | 5人から委員2人：$10$ |
| 重複を許して並べる | $n^r$ | ○×を5回記録：$2^5=32$ |
| 同じものを含む並べ方 | $\dfrac{n!}{a!\,b!\cdots}$ | 成功3回・失敗2回の並び：$\dfrac{5!}{3!\,2!}=10$ |
二項分布とのつながり
成功確率 $p$ の試行を独立に $n$ 回行うとき、ちょうど $x$ 回成功する確率は、成功と失敗の並び方 ${}_n\mathrm{C}_x$ 通りそれぞれが確率 $p^x(1-p)^{n-x}$ をもつので
$$P(X=x)={}_n\mathrm{C}_x\,p^x(1-p)^{n-x}$$となります。たとえば $n=5,\ p=0.3$ で $x=2$ なら、${}_5\mathrm{C}_2=10$ より $P(X=2)=10\times0.3^2\times0.7^3=10\times0.09\times0.343=0.3087$ です。「成功3回・失敗2回の並び」と「5回のうち成功する回を2つ選ぶ」が同じ数（10）になることも確認しておきましょう。
数値例
- ${}_{10}\mathrm{C}_3=\dfrac{10\times9\times8}{3\times2\times1}=120$
- ${}_{10}\mathrm{C}_7={}_{10}\mathrm{C}_3=120$（大きい $r$ は小さい側に直すと速い）
- 不良品3個を含む10個から4個を取り出す方法：${}_{10}\mathrm{C}_4=210$。このうち不良品を含まない方法は良品7個から4個を選ぶ ${}_7\mathrm{C}_4=35$ 通り。
ひっかけ 「順番に取り出す」と書かれていても、問われているのが「何が選ばれたか」だけなら組合せで数えて構いません。ただし分子と分母で数え方（順列か組合せか）をそろえること。片方だけ順列にすると確率が $r!$ 倍ずれます。
コツ ${}_n\mathrm{C}_r$ は分子を $n$ から $r$ 個掛け、分母を $r!$ にすると暗算しやすくなります。試験では ${}_n\mathrm{C}_1=n$、${}_n\mathrm{C}_2=n(n-1)/2$ が頻出です。
統計検定2級 合格ナビ：統計検定2級の問題集アプリ。本番と同じ5択・数値表と電卓で解くオリジナル問題173問と、35問90分の模擬試験。解説記事・公式集・数値表と第1・2章の問題は登録なしで無料。全問は1,480円の買い切り。
アプリを無料で開く有料版と無料版の違い