標準化と変数変換（統計検定2級 1.6）
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第1章 1変数データの記述の解説記事
「数学 72 点と英語 80 点、どちらが良い成績か」は、点数そのものではなく、それぞれの集団の中での位置で比べるべきです。平均と標準偏差で物差しをそろえる操作が標準化です。
公式
1次変換 $y=a+bx$：$\bar{y}=a+b\bar{x}$、$s_y=|b|\,s_x$、$s_y^2=b^2s_x^2$
標準化：$z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$ → 平均 0、標準偏差 1
偏差値：$T=50+10z$ → 平均 50、標準偏差 10
1次変換 $y=a+bx$：$\bar{y}=a+b\bar{x}$、$s_y=|b|\,s_x$、$s_y^2=b^2s_x^2$
標準化：$z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$ → 平均 0、標準偏差 1
偏差値：$T=50+10z$ → 平均 50、標準偏差 10
なぜそうなるか
全データに $a$ を足すと分布は丸ごと平行移動するので、平均は $a$ だけずれ、各値と平均の距離（偏差）は変わりません。$b$ 倍すると偏差もすべて $b$ 倍になり、2乗の平均である分散は $b^2$ 倍、標準偏差は $|b|$ 倍です。標準化は $a=-\bar{x}/s,\ b=1/s$ の1次変換にあたります。
全データに $a$ を足すと分布は丸ごと平行移動するので、平均は $a$ だけずれ、各値と平均の距離（偏差）は変わりません。$b$ 倍すると偏差もすべて $b$ 倍になり、2乗の平均である分散は $b^2$ 倍、標準偏差は $|b|$ 倍です。標準化は $a=-\bar{x}/s,\ b=1/s$ の1次変換にあたります。
数値例：成績の比較
| 科目 | 得点 | 平均 | 標準偏差 | z | 偏差値 |
|---|---|---|---|---|---|
| 数学 | 72 | 60 | 8 | (72−60)/8 = 1.5 | 65 |
| 英語 | 80 | 70 | 5 | (80−70)/5 = 2.0 | 70 |
集団内の相対的な位置は英語の方が上です。さらに得点分布が正規分布に近ければ、数学で 72 点以上の割合は $P(Z\ge1.5)=0.0668$、つまり上位約 6.7% と読めます。
逆引き：上位 10% に入る数学の点は、$P(Z\ge z)=0.10$ となる $z\approx1.28$ を使い $60+1.28\times8\approx70.2$ 点以上。
単位変換の例
気温（摂氏）の平均 20℃・標準偏差 5℃ を華氏 $F=1.8C+32$ に直すと、平均 $1.8\times20+32=68$°F、標準偏差 $1.8\times5=9$°F（+32 は標準偏差に影響しない）。
| 統計量 | $x\to a+bx$ で |
|---|---|
| 平均・中央値・四分位数 | 同じ変換を受ける（$a+b\times$元の値、$b\lt0$ なら $Q_1$ と $Q_3$ が入れ替わる） |
| 標準偏差・IQR・範囲 | $|b|$ 倍（$a$ は無関係） |
| 分散 | $b^2$ 倍 |
| 変動係数 | $a\ne0$ なら変わる。$a=0,\ b\gt0$ なら不変 |
| 相関係数（別の変数との） | $b\gt0$ なら不変、$b\lt0$ なら符号だけ反転 |
| 標準化得点 z | $b\gt0$ なら不変（単位に依存しない） |
ひっかけ
- 「全員に 10 点加点」で標準偏差は変わらない。「全員を 1.2 倍」なら標準偏差も 1.2 倍、分散は 1.44 倍。
- 分散に $b$ を掛けてしまう誤りが多い。分散は $b^2$ 倍。
- 偏差値 70 が「上位約 2.3%」と言えるのは分布が正規分布に近いときだけ。標準化そのものは分布の形を変えない。
- 単位を cm から m に変えても相関係数は変わらない。
コツ：「平均は $a$ も $b$ も受ける、ばらつきは $b$ だけ受ける」の一文で大半の問題が解けます。正規分布の確率を求めるときは、まず標準化して $z$ を出し、表から上側確率を引きます。
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