度数分布表とヒストグラム（統計検定2級 1.2）
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第1章 1変数データの記述の解説記事
生のデータを区間（階級）ごとに数え直すと、分布の山の位置・広がり・偏りがひと目でわかります。その集計表が度数分布表、柱で描いた図がヒストグラムです。
用語と公式
階級値：階級の中央の値（例：10以上20未満なら 15）
相対度数 $=\dfrac{\text{その階級の度数}}{n}$、累積相対度数：最初の階級からの相対度数の和（最後は必ず 1）
度数分布表からの平均：$\bar{x}\approx\dfrac{1}{n}\sum_k m_k f_k$（$m_k$：階級値、$f_k$：度数）
階級値：階級の中央の値（例：10以上20未満なら 15）
相対度数 $=\dfrac{\text{その階級の度数}}{n}$、累積相対度数：最初の階級からの相対度数の和（最後は必ず 1）
度数分布表からの平均：$\bar{x}\approx\dfrac{1}{n}\sum_k m_k f_k$（$m_k$：階級値、$f_k$：度数）
数値例（n = 50）
| 階級 | 階級値 | 度数 | 相対度数 | 累積度数 | 累積相対度数 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0以上10未満 | 5 | 4 | 0.08 | 4 | 0.08 |
| 10〜20 | 15 | 10 | 0.20 | 14 | 0.28 |
| 20〜30 | 25 | 16 | 0.32 | 30 | 0.60 |
| 30〜40 | 35 | 12 | 0.24 | 42 | 0.84 |
| 40〜50 | 45 | 8 | 0.16 | 50 | 1.00 |
- 平均：$(5\cdot4+15\cdot10+25\cdot16+35\cdot12+45\cdot8)/50=1350/50=27$
- 中央値の階級：累積相対度数が初めて 0.5 以上になる階級＝20〜30。
- 中央値の近似（線形補間）：25番目の値が階級内に一様に散らばると考え、$20+\dfrac{25-14}{16}\times10=26.875$
- 最頻値：度数最大の階級の階級値＝25。
- 「30未満の割合」は累積相対度数から 0.60、「30以上」は $1-0.60=0.40$。
なぜ階級値で平均を近似できるのか
階級内の値の詳細は捨てているので、各値を階級の中央で代表させます。階級内で値が左右均等に散らばっていれば誤差は打ち消し合うので、良い近似になります（厳密な平均とは一般にずれます）。
階級内の値の詳細は捨てているので、各値を階級の中央で代表させます。階級内で値が左右均等に散らばっていれば誤差は打ち消し合うので、良い近似になります（厳密な平均とは一般にずれます）。
ヒストグラムを描く・読むときの約束
| 論点 | 要点 |
|---|---|
| 柱の面積 | 度数（相対度数）に比例させる。階級幅がそろっていれば高さ＝度数でよい |
| 階級幅が不ぞろい | 高さ＝度数 ÷ 階級幅（密度）にしないと、幅の広い階級が過大に見える |
| 階級数の目安 | スタージェスの公式 $k\approx1+\log_2 n$。n=50 なら約 6.6 → 6〜7 個 |
| 棒グラフとの違い | ヒストグラムは量的変数で柱をすき間なく並べる。棒グラフは質的変数でカテゴリ間にすき間 |
ひっかけ
- 中央値は「度数が最大の階級」ではなく「累積相対度数が 0.5 をまたぐ階級」。最頻値と取り違えない。
- 「以上・未満」の境界に注意。20 ちょうどは「20以上30未満」に入る。
- 累積相対度数の表だけが与えられたら、隣どうしの差をとって各階級の相対度数に戻す。
- 同じデータでも階級幅や区切り位置を変えると、ヒストグラムの見た目（山の数など）が変わり得る。
コツ：度数分布表の問題は、まず「累積度数」の列を自分で書き足すと、中央値・四分位数（累積 0.25, 0.75 の位置）・「○以上の割合」がすべて同じ列から読めます。
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