試験直前に「式の形」と「使う場面」をまとめて確認するための一覧です。各行のひとこと解説は、式を思い出すきっかけと、取り違えやすい点に絞っています。詳しい導出や使い方は、分野ごとのテーマ別記事で確認してください。

記号の約束 標本サイズ $n$、標本平均 $\bar{x}$、偏差平方和 $S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2$。
標本分散（$n$ で割る）$s^2=S_{xx}/n$、不偏分散（$n-1$ で割る）$u^2=S_{xx}/(n-1)$。
標準正規分布の上側 $\alpha$ 点を $z_{\alpha}$、t分布・χ²分布・F分布の上側 $\alpha$ 点を $t_{\alpha}(\nu)$、$\chi^2_{\alpha}(\nu)$、$F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$ と書きます。

1. 記述統計

項目	公式	ひとこと解説
平均	$\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$	外れ値の影響を受けやすい
度数分布表からの平均	$\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum m_k f_k$	$m_k$ は階級値、$f_k$ は度数。近似値になる
中央値	小さい順に並べて $\dfrac{n+1}{2}$ 番目	$n$ が偶数なら中央の2つの平均。外れ値に強い
幾何平均	$\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$	成長率・倍率の平均に使う
平均成長率	$\left(\dfrac{\text{最終値}}{\text{初期値}}\right)^{1/n}-1$	$n$ は期間の数（年数）。算術平均で求めると過大になる
調和平均	$\dfrac{n}{\sum (1/x_i)}$	同じ距離を異なる速さで進んだときの平均の速さ
分散（$n$ で割る）	$s^2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$	「2乗の平均 − 平均の2乗」が電卓向き
不偏分散	$u^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\dfrac{n}{n-1}s^2$	推定・検定ではこちら。問題文でどちらかを必ず確認
標準偏差	$s=\sqrt{s^2}$	単位はデータと同じ
変動係数	$CV=\dfrac{s}{\bar{x}}$	単位や平均の大きさが違う集団のばらつき比較
範囲・四分位範囲	$R=\max-\min$、$IQR=Q_3-Q_1$	四分位偏差は $IQR/2$
外れ値の目安	$Q_1-1.5\,IQR$ 未満、$Q_3+1.5\,IQR$ 超	箱ひげ図でひげの外に点で描かれる
標準化（z得点）	$z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$	平均0、標準偏差1になる
偏差値	$T=50+10z$	平均50、標準偏差10に変換
1次変換	$y=ax+b$ なら $\bar{y}=a\bar{x}+b$、$s_y=\|a\|s_x$、$s_y^2=a^2s_x^2$	定数を足してもばらつきは不変
歪度	$\dfrac{1}{n}\sum\left(\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$	正なら右に裾が長い（平均 > 中央値になりやすい）
尖度	$\dfrac{1}{n}\sum\left(\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4-3$	正規分布で0となる定義。$-3$ を付けない流儀もある
共分散	$s_{xy}=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$	単位に依存する
相関係数	$r=\dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$	$-1\le r\le 1$。直線的な関係の強さだけを測る
回帰直線 $y=a+bx$	$b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}=r\dfrac{s_y}{s_x}$、$a=\bar{y}-b\bar{x}$	必ず点 $(\bar{x},\bar{y})$ を通る
決定係数（単回帰）	$R^2=r^2$	$y$ の変動のうち直線で説明できる割合
オッズ比（2×2表 $a,b;c,d$）	$\dfrac{a/b}{c/d}=\dfrac{ad}{bc}$	1なら関連なし。1から離れるほど関連が強い
3項移動平均	$\dfrac{x_{t-1}+x_t+x_{t+1}}{3}$	季節変動は周期と同じ項数で平均すると消える
ラスパイレス価格指数	$\dfrac{\sum p_tq_0}{\sum p_0q_0}\times100$	数量は基準時点 $q_0$ で固定
パーシェ価格指数	$\dfrac{\sum p_tq_t}{\sum p_0q_t}\times100$	数量は比較時点 $q_t$ で固定
ラグ $k$ の自己相関	$r_k=\dfrac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})}{\sum_{t=1}^{n}(x_t-\bar{x})^2}$	周期 $m$ の季節性があるとラグ $m$ で大きくなる

2. データ収集

項目	式・定義	ひとこと解説
単純無作為抽出	全員が等しい確率で選ばれる	すべての抽出法の基準
系統抽出	開始点を無作為に選び、$k$ 番目ごとに抽出	名簿に周期性があると偏る
層化抽出	母集団を層に分け、各層から無作為抽出	層内が均質・層間が異質だと精度が上がる
比例配分	$n_h=n\dfrac{N_h}{N}$	層の大きさに比例して標本を割り当てる
クラスター（集落）抽出	集落を無作為に選び、選んだ集落は全数調査	費用は安いが、集落内が似ていると精度が落ちる
多段抽出	市区町村 → 地区 → 世帯のように段階的に抽出	大規模調査向き。段数が増えると精度は下がりやすい
標本誤差	標本の選び方による偶然の誤差	$n$ を大きくすると小さくなる（おおむね $1/\sqrt{n}$ に比例）
非標本誤差	無回答・回答の偏り・測定ミス・対象の定義漏れなど	$n$ を大きくしても減らない
有限母集団修正	$V(\bar{X})=\dfrac{N-n}{N-1}\cdot\dfrac{\sigma^2}{n}$	非復元抽出で $n/N$ が大きいときに効く
フィッシャーの3原則	反復・無作為化・局所管理	局所管理はブロックに分けて条件をそろえること
実験研究と観察研究	処理を研究者が割り付けるか否か	因果関係を主張しやすいのは無作為化した実験
交絡	処理と結果の両方に関係する第3の要因	見かけの相関の原因。層別や無作為化で対処
二重盲検法	被験者も評価者も割付を知らない	プラセボ効果・評価者の思い込みを防ぐ

3. 確率・確率分布

項目	公式	ひとこと解説
順列・組合せ	${}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$、${}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$	並べ方を区別するなら P、しないなら C
加法定理	$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$	排反なら最後の項は0
余事象	$P(\bar{A})=1-P(A)$	「少なくとも1回」は余事象で
条件付き確率	$P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$	分母は「条件の側」
独立	$P(A\cap B)=P(A)P(B)$	排反とは別物
全確率の公式	$P(B)=\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)$	原因ごとに場合分けして足す
ベイズの定理	$P(A_i\mid B)=\dfrac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_j P(A_j)P(B\mid A_j)}$	結果から原因の確率へ。陽性的中率の計算
期待値	$E[X]=\sum x\,p(x)$、連続なら $\int x f(x)\,dx$	確率で重み付けした平均
分散	$V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$	$E[(X-\mu)^2]$ より計算が楽
1次変換	$E[aX+b]=aE[X]+b$、$V[aX+b]=a^2V[X]$	分散に $b$ は効かない
和の期待値・分散	$E[X+Y]=E[X]+E[Y]$、$V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]\pm2\mathrm{Cov}(X,Y)$	独立なら $V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]$（差でも足す）
共分散	$\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$	独立なら0（逆は一般に成り立たない）
ベルヌーイ分布	$E=p$、$V=p(1-p)$	成功1・失敗0
二項分布 $B(n,p)$	$P(X=k)={}_nC_k\,p^k(1-p)^{n-k}$、$E=np$、$V=np(1-p)$	独立な試行 $n$ 回の成功数
ポアソン分布 $Po(\lambda)$	$P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$、$E=V=\lambda$	まれな事象の件数。$n$ 大・$p$ 小で $B(n,p)\approx Po(np)$
幾何分布	$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$、$E=\dfrac{1}{p}$、$V=\dfrac{1-p}{p^2}$	初めて成功するまでの試行回数。失敗回数で数える定義もある
超幾何分布	$P(X=k)=\dfrac{{}_MC_k\,{}_{N-M}C_{n-k}}{{}_NC_n}$、$E=n\dfrac{M}{N}$	非復元抽出での当たりの数
一様分布 $U(a,b)$	$f(x)=\dfrac{1}{b-a}$、$E=\dfrac{a+b}{2}$、$V=\dfrac{(b-a)^2}{12}$	分散の12を忘れない
指数分布	$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$、$E=\dfrac{1}{\lambda}$、$V=\dfrac{1}{\lambda^2}$、$P(X\gt x)=e^{-\lambda x}$	待ち時間。無記憶性をもつ
正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$	$Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$	$\sigma^2$ は分散。$\sigma$ と取り違えない
正規分布の目安	$\mu\pm\sigma$：約68%、$\mu\pm2\sigma$：約95%、$\mu\pm3\sigma$：約99.7%	正確には $\pm1.96\sigma$ で95%
正規分布の再生性	独立なら $aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$	分散は係数の2乗で足す
二項分布の正規近似	$X\approx N(np,\,np(1-p))$、$P(X\le k)\approx P\!\left(Z\le\dfrac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$	$\pm0.5$ が連続修正。$np$ と $n(1-p)$ が十分大きいとき

4. 標本分布・推定

項目	公式	ひとこと解説
標本平均の期待値・分散	$E[\bar{X}]=\mu$、$V[\bar{X}]=\dfrac{\sigma^2}{n}$	標準誤差は $\sigma/\sqrt{n}$
中心極限定理	$\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\approx N(0,1)$	母集団が正規でなくても $n$ が大きければ成り立つ
標本比率	$E[\hat{p}]=p$、$V[\hat{p}]=\dfrac{p(1-p)}{n}$	二項分布を $n$ で割ったもの
和の分布	$\sum X_i$：平均 $n\mu$、分散 $n\sigma^2$	平均は $\sigma^2/n$、和は $n\sigma^2$
χ²分布	$\dfrac{(n-1)U^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$	正規母集団が前提。$\chi^2(k)$ の平均 $k$、分散 $2k$
t分布	$T=\dfrac{\bar{X}-\mu}{U/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$	$\sigma$ を $U$ で置き換えると t 分布
F分布	$F=\dfrac{U_1^2/\sigma_1^2}{U_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,\,n_2-1)$	自由度は（分子, 分母）の順
分布どうしの関係	$t(\nu)^2=F(1,\nu)$、$Z^2=\chi^2(1)$、$t(\infty)=N(0,1)$	表の値で $2.228^2\approx4.96$ などが確かめられる
推定量の性質	不偏性 $E[\hat{\theta}]=\theta$、一致性、有効性（分散が小さい）	平均二乗誤差 $=$ 分散 $+$（偏り）$^2$
最尤推定量の例	ベルヌーイ：$\hat{p}=\bar{x}$、ポアソン：$\hat{\lambda}=\bar{x}$、正規：$\hat{\mu}=\bar{x}$、$\hat{\sigma}^2=s^2$	正規分布の分散の最尤推定量は $n$ で割るので不偏でない
母平均（$\sigma$ 既知）	$\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$	95%なら $z_{0.025}=1.96$
母平均（$\sigma$ 未知）	$\bar{x}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{u}{\sqrt{n}}$	$n$ が大きければ $z$ で近似
母比率	$\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$	$n$ が大きいときの近似
母分散	$\left[\dfrac{(n-1)u^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \dfrac{(n-1)u^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$	大きいχ²値で割ると下限。左右非対称
母平均の差（$\sigma_1,\sigma_2$ 既知）	$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$	分散は足す
母平均の差（等分散・未知）	$(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\,u_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}$	プールした分散 $u_p^2=\dfrac{(n_1-1)u_1^2+(n_2-1)u_2^2}{n_1+n_2-2}$
母比率の差	$(\hat{p}_1-\hat{p}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$	区間推定では各群の比率をそのまま使う
対応のあるデータ	差 $d_i=x_i-y_i$ に1標本の方法を適用	自由度は（ペア数）$-1$
必要な標本サイズ（平均）	$n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2$	$E$ は許容する誤差（区間幅の半分）。端数は切り上げ
必要な標本サイズ（比率）	$n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2p(1-p)$	$p$ の見当がなければ $p(1-p)\le0.25$ を使う
区間幅と $n$	幅 $\propto 1/\sqrt{n}$	幅を半分にするには $n$ を4倍

5. 検定・χ²検定

項目	公式	ひとこと解説
母平均（$\sigma$ 既知）	$Z=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	両側5%なら $\|Z\|\ge1.96$、片側5%なら $Z\ge1.645$ で棄却
母平均（$\sigma$ 未知）	$T=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{u/\sqrt{n}}$、自由度 $n-1$	$u$ は不偏分散の平方根
母比率	$Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$	検定では分母に帰無仮説の $p_0$ を使う
母分散	$\chi^2=\dfrac{(n-1)u^2}{\sigma_0^2}$、自由度 $n-1$	両側なら上側と下側の両方の点を使う
2標本 t 検定（等分散）	$T=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{u_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$、自由度 $n_1+n_2-2$	$u_p^2$ はプールした分散
ウェルチの検定	$T=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{u_1^2/n_1+u_2^2/n_2}}$	等分散を仮定しない。自由度は近似式で求める
対応のある t 検定	$T=\dfrac{\bar{d}}{u_d/\sqrt{m}}$、自由度 $m-1$	$m$ はペアの数。同じ人の前後比較など
2標本の母比率の差	$Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_1+1/n_2)}}$	$\bar{p}$ は2群を合わせた比率（帰無仮説 $p_1=p_2$ の下）
等分散の F 検定	$F=\dfrac{u_1^2}{u_2^2}$、自由度 $(n_1-1,\,n_2-1)$	大きい方を分子にすると上側の表だけで判定しやすい
p値	観測値以上に極端な値が出る確率（帰無仮説の下）	両側検定では片側の確率を2倍
第1種の過誤	$\alpha=P(\text{棄却}\mid H_0\text{ が真})$	有意水準そのもの
第2種の過誤・検出力	$\beta=P(\text{採択}\mid H_1\text{ が真})$、検出力 $1-\beta$	$n$ を増やす・効果が大きい・$\alpha$ を大きくすると検出力は上がる
検出力の計算（片側 $Z$ 検定）	$1-\beta=P\!\left(Z\ge z_{\alpha}-\dfrac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$	棄却域の境界を $\mu_1$ の分布で標準化し直す
χ²統計量	$\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$	$O$ は観測度数、$E$ は期待度数。比率ではなく度数で計算
適合度検定の自由度	$k-1-(\text{推定した母数の数})$	$k$ はカテゴリー数
独立性の検定	$E_{ij}=\dfrac{(\text{行和}_i)(\text{列和}_j)}{N}$、自由度 $(r-1)(c-1)$	期待度数はおおむね5以上が目安
2×2表の簡便式	$\chi^2=\dfrac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$	自由度1。$\chi^2_{0.05}(1)=3.841=1.96^2$

6. 線形モデル

項目	公式	ひとこと解説
回帰モデル	$y_i=\beta_0+\beta_1x_{i}+\varepsilon_i$、$\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$ 独立	誤差の正規性・等分散性・独立性が前提
最小二乗推定	$\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$、$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$	残差平方和 $\sum e_i^2$ を最小にする
残差	$e_i=y_i-\hat{y}_i$	$\sum e_i=0$。残差プロットに模様があればモデル不適合
平方和の分解	$S_T=S_R+S_E$	総変動 $=$ 回帰で説明できる変動 $+$ 残差変動
決定係数	$R^2=\dfrac{S_R}{S_T}=1-\dfrac{S_E}{S_T}$	説明変数を増やすと下がらない
自由度調整済み決定係数	$\bar{R}^2=1-\dfrac{S_E/(n-p-1)}{S_T/(n-1)}$	$p$ は説明変数の数。無駄な変数を入れると下がりうる
誤差分散の推定	$\hat{\sigma}^2=\dfrac{S_E}{n-p-1}$	単回帰なら $n-2$ で割る
回帰係数の標準誤差（単回帰）	$\mathrm{SE}(\hat{\beta}_1)=\dfrac{\hat{\sigma}}{\sqrt{S_{xx}}}$	$x$ の散らばりが大きいほど精度が上がる
係数の t 検定	$t=\dfrac{\hat{\beta}_j}{\mathrm{SE}(\hat{\beta}_j)}$、自由度 $n-p-1$	回帰出力の t 値＝推定値÷標準誤差
係数の信頼区間	$\hat{\beta}_j\pm t_{\alpha/2}(n-p-1)\,\mathrm{SE}(\hat{\beta}_j)$	区間が0を含まなければ両側検定で有意
回帰の F 検定	$F=\dfrac{S_R/p}{S_E/(n-p-1)}$、自由度 $(p,\,n-p-1)$	単回帰では $F=t^2$
予測値	$\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$	データの範囲外への外挿は危険
一元配置分散分析	$S_T=S_A+S_E$、自由度 $N-1=(a-1)+(N-a)$	$a$ は群の数、$N$ は全データ数
分散分析の F	$F=\dfrac{S_A/(a-1)}{S_E/(N-a)}$	群間の平均平方 ÷ 群内の平均平方
ダミー変数	該当なら1、そうでなければ0	係数は基準カテゴリーとの平均の差
多重共線性	説明変数どうしの強い相関	係数の標準誤差が大きくなり、符号が不安定になる

直前の使い方 表を上から眺めて、式を見たときに「何を表すか」「どの場面で使うか」がすぐに言えるかを確かめてください。言えない行だけ、該当するテーマ別記事に戻るのが効率的です。特に「$n$ と $n-1$」「分散と標準偏差」「自由度」の3点は、正しい式を知っていても本番で取り違えやすいところです。