最尤推定の具体例（統計検定2級 S5.2）

このページはプロモーション（広告）を含みます。

補足資料の解説記事

最尤推定は「手元のデータが最も起こりやすくなるような母数の値」を推定値に選ぶ方法です。どの分布でも「尤度を書く → 対数をとる → 微分して0」という同じ手順で推定量が得られます。

例1：成功確率（ベルヌーイ）

10回の試行で成功3回。$L(p)=p^3(1-p)^7$、$\ell(p)=3\log p+7\log(1-p)$。 $$\frac{d\ell}{dp}=\frac3p-\frac7{1-p}=0\ \Rightarrow\ \hat p=\frac{3}{10}=0.3$$ 一般に $\hat p=x/n$（標本比率）です。

例2：ポアソン分布

1日の件数が $2,0,3,1,4$。$f(x;\lambda)=e^{-\lambda}\lambda^x/x!$ より $$\ell(\lambda)=-n\lambda+\Big(\sum x_i\Big)\log\lambda-\sum\log x_i!,\qquad \frac{d\ell}{d\lambda}=-n+\frac{\sum x_i}{\lambda}=0$$ よって $\hat\lambda=\bar x=10/5=2$。

よく出る最尤推定量

不変性

$\theta$ の最尤推定量が $\hat\theta$ なら、$g(\theta)$ の最尤推定量は $g(\hat\theta)$ です。例2で「1日に0件である確率」$P(X=0)=e^{-\lambda}$ の最尤推定値は $e^{-2}\approx0.135$。