頻出公式一覧（直前総復習用）（統計検定2級）
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試験直前に「式の形」と「使う場面」をまとめて確認するための一覧です。各行のひとこと解説は、式を思い出すきっかけと、取り違えやすい点に絞っています。詳しい導出や使い方は、分野ごとのテーマ別記事で確認してください。
記号の約束 標本サイズ $n$、標本平均 $\bar{x}$、偏差平方和 $S_{xx}=\sum (x_i-\bar{x})^2$。
標本分散（$n$ で割る）$s^2=S_{xx}/n$、不偏分散（$n-1$ で割る）$u^2=S_{xx}/(n-1)$。
標準正規分布の上側 $\alpha$ 点を $z_{\alpha}$、t分布・χ²分布・F分布の上側 $\alpha$ 点を $t_{\alpha}(\nu)$、$\chi^2_{\alpha}(\nu)$、$F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$ と書きます。
標本分散（$n$ で割る）$s^2=S_{xx}/n$、不偏分散（$n-1$ で割る）$u^2=S_{xx}/(n-1)$。
標準正規分布の上側 $\alpha$ 点を $z_{\alpha}$、t分布・χ²分布・F分布の上側 $\alpha$ 点を $t_{\alpha}(\nu)$、$\chi^2_{\alpha}(\nu)$、$F_{\alpha}(\nu_1,\nu_2)$ と書きます。
1. 記述統計
| 項目 | 公式 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 平均 | $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum x_i$ | 外れ値の影響を受けやすい |
| 度数分布表からの平均 | $\bar{x}=\dfrac{1}{n}\sum m_k f_k$ | $m_k$ は階級値、$f_k$ は度数。近似値になる |
| 中央値 | 小さい順に並べて $\dfrac{n+1}{2}$ 番目 | $n$ が偶数なら中央の2つの平均。外れ値に強い |
| 幾何平均 | $\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}$ | 成長率・倍率の平均に使う |
| 平均成長率 | $\left(\dfrac{\text{最終値}}{\text{初期値}}\right)^{1/n}-1$ | $n$ は期間の数（年数）。算術平均で求めると過大になる |
| 調和平均 | $\dfrac{n}{\sum (1/x_i)}$ | 同じ距離を異なる速さで進んだときの平均の速さ |
| 分散（$n$ で割る） | $s^2=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})^2=\overline{x^2}-\bar{x}^2$ | 「2乗の平均 − 平均の2乗」が電卓向き |
| 不偏分散 | $u^2=\dfrac{1}{n-1}\sum (x_i-\bar{x})^2=\dfrac{n}{n-1}s^2$ | 推定・検定ではこちら。問題文でどちらかを必ず確認 |
| 標準偏差 | $s=\sqrt{s^2}$ | 単位はデータと同じ |
| 変動係数 | $CV=\dfrac{s}{\bar{x}}$ | 単位や平均の大きさが違う集団のばらつき比較 |
| 範囲・四分位範囲 | $R=\max-\min$、$IQR=Q_3-Q_1$ | 四分位偏差は $IQR/2$ |
| 外れ値の目安 | $Q_1-1.5\,IQR$ 未満、$Q_3+1.5\,IQR$ 超 | 箱ひげ図でひげの外に点で描かれる |
| 標準化（z得点） | $z=\dfrac{x-\bar{x}}{s}$ | 平均0、標準偏差1になる |
| 偏差値 | $T=50+10z$ | 平均50、標準偏差10に変換 |
| 1次変換 | $y=ax+b$ なら $\bar{y}=a\bar{x}+b$、$s_y=|a|s_x$、$s_y^2=a^2s_x^2$ | 定数を足してもばらつきは不変 |
| 歪度 | $\dfrac{1}{n}\sum\left(\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^3$ | 正なら右に裾が長い（平均 > 中央値になりやすい） |
| 尖度 | $\dfrac{1}{n}\sum\left(\dfrac{x_i-\bar{x}}{s}\right)^4-3$ | 正規分布で0となる定義。$-3$ を付けない流儀もある |
| 共分散 | $s_{xy}=\dfrac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x})(y_i-\bar{y})=\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}$ | 単位に依存する |
| 相関係数 | $r=\dfrac{s_{xy}}{s_xs_y}=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$ | $-1\le r\le 1$。直線的な関係の強さだけを測る |
| 回帰直線 $y=a+bx$ | $b=\dfrac{s_{xy}}{s_x^2}=r\dfrac{s_y}{s_x}$、$a=\bar{y}-b\bar{x}$ | 必ず点 $(\bar{x},\bar{y})$ を通る |
| 決定係数（単回帰） | $R^2=r^2$ | $y$ の変動のうち直線で説明できる割合 |
| オッズ比（2×2表 $a,b;c,d$） | $\dfrac{a/b}{c/d}=\dfrac{ad}{bc}$ | 1なら関連なし。1から離れるほど関連が強い |
| 3項移動平均 | $\dfrac{x_{t-1}+x_t+x_{t+1}}{3}$ | 季節変動は周期と同じ項数で平均すると消える |
| ラスパイレス価格指数 | $\dfrac{\sum p_tq_0}{\sum p_0q_0}\times100$ | 数量は基準時点 $q_0$ で固定 |
| パーシェ価格指数 | $\dfrac{\sum p_tq_t}{\sum p_0q_t}\times100$ | 数量は比較時点 $q_t$ で固定 |
| ラグ $k$ の自己相関 | $r_k=\dfrac{\sum_{t=1}^{n-k}(x_t-\bar{x})(x_{t+k}-\bar{x})}{\sum_{t=1}^{n}(x_t-\bar{x})^2}$ | 周期 $m$ の季節性があるとラグ $m$ で大きくなる |
2. データ収集
| 項目 | 式・定義 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 単純無作為抽出 | 全員が等しい確率で選ばれる | すべての抽出法の基準 |
| 系統抽出 | 開始点を無作為に選び、$k$ 番目ごとに抽出 | 名簿に周期性があると偏る |
| 層化抽出 | 母集団を層に分け、各層から無作為抽出 | 層内が均質・層間が異質だと精度が上がる |
| 比例配分 | $n_h=n\dfrac{N_h}{N}$ | 層の大きさに比例して標本を割り当てる |
| クラスター（集落）抽出 | 集落を無作為に選び、選んだ集落は全数調査 | 費用は安いが、集落内が似ていると精度が落ちる |
| 多段抽出 | 市区町村 → 地区 → 世帯のように段階的に抽出 | 大規模調査向き。段数が増えると精度は下がりやすい |
| 標本誤差 | 標本の選び方による偶然の誤差 | $n$ を大きくすると小さくなる（おおむね $1/\sqrt{n}$ に比例） |
| 非標本誤差 | 無回答・回答の偏り・測定ミス・対象の定義漏れなど | $n$ を大きくしても減らない |
| 有限母集団修正 | $V(\bar{X})=\dfrac{N-n}{N-1}\cdot\dfrac{\sigma^2}{n}$ | 非復元抽出で $n/N$ が大きいときに効く |
| フィッシャーの3原則 | 反復・無作為化・局所管理 | 局所管理はブロックに分けて条件をそろえること |
| 実験研究と観察研究 | 処理を研究者が割り付けるか否か | 因果関係を主張しやすいのは無作為化した実験 |
| 交絡 | 処理と結果の両方に関係する第3の要因 | 見かけの相関の原因。層別や無作為化で対処 |
| 二重盲検法 | 被験者も評価者も割付を知らない | プラセボ効果・評価者の思い込みを防ぐ |
3. 確率・確率分布
| 項目 | 公式 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 順列・組合せ | ${}_nP_r=\dfrac{n!}{(n-r)!}$、${}_nC_r=\dfrac{n!}{r!(n-r)!}$ | 並べ方を区別するなら P、しないなら C |
| 加法定理 | $P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$ | 排反なら最後の項は0 |
| 余事象 | $P(\bar{A})=1-P(A)$ | 「少なくとも1回」は余事象で |
| 条件付き確率 | $P(B\mid A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$ | 分母は「条件の側」 |
| 独立 | $P(A\cap B)=P(A)P(B)$ | 排反とは別物 |
| 全確率の公式 | $P(B)=\sum_i P(A_i)P(B\mid A_i)$ | 原因ごとに場合分けして足す |
| ベイズの定理 | $P(A_i\mid B)=\dfrac{P(A_i)P(B\mid A_i)}{\sum_j P(A_j)P(B\mid A_j)}$ | 結果から原因の確率へ。陽性的中率の計算 |
| 期待値 | $E[X]=\sum x\,p(x)$、連続なら $\int x f(x)\,dx$ | 確率で重み付けした平均 |
| 分散 | $V[X]=E[X^2]-(E[X])^2$ | $E[(X-\mu)^2]$ より計算が楽 |
| 1次変換 | $E[aX+b]=aE[X]+b$、$V[aX+b]=a^2V[X]$ | 分散に $b$ は効かない |
| 和の期待値・分散 | $E[X+Y]=E[X]+E[Y]$、$V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]\pm2\mathrm{Cov}(X,Y)$ | 独立なら $V[X\pm Y]=V[X]+V[Y]$（差でも足す） |
| 共分散 | $\mathrm{Cov}(X,Y)=E[XY]-E[X]E[Y]$ | 独立なら0（逆は一般に成り立たない） |
| ベルヌーイ分布 | $E=p$、$V=p(1-p)$ | 成功1・失敗0 |
| 二項分布 $B(n,p)$ | $P(X=k)={}_nC_k\,p^k(1-p)^{n-k}$、$E=np$、$V=np(1-p)$ | 独立な試行 $n$ 回の成功数 |
| ポアソン分布 $Po(\lambda)$ | $P(X=k)=\dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}$、$E=V=\lambda$ | まれな事象の件数。$n$ 大・$p$ 小で $B(n,p)\approx Po(np)$ |
| 幾何分布 | $P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$、$E=\dfrac{1}{p}$、$V=\dfrac{1-p}{p^2}$ | 初めて成功するまでの試行回数。失敗回数で数える定義もある |
| 超幾何分布 | $P(X=k)=\dfrac{{}_MC_k\,{}_{N-M}C_{n-k}}{{}_NC_n}$、$E=n\dfrac{M}{N}$ | 非復元抽出での当たりの数 |
| 一様分布 $U(a,b)$ | $f(x)=\dfrac{1}{b-a}$、$E=\dfrac{a+b}{2}$、$V=\dfrac{(b-a)^2}{12}$ | 分散の12を忘れない |
| 指数分布 | $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$、$E=\dfrac{1}{\lambda}$、$V=\dfrac{1}{\lambda^2}$、$P(X\gt x)=e^{-\lambda x}$ | 待ち時間。無記憶性をもつ |
| 正規分布 $N(\mu,\sigma^2)$ | $Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)$ | $\sigma^2$ は分散。$\sigma$ と取り違えない |
| 正規分布の目安 | $\mu\pm\sigma$：約68%、$\mu\pm2\sigma$：約95%、$\mu\pm3\sigma$：約99.7% | 正確には $\pm1.96\sigma$ で95% |
| 正規分布の再生性 | 独立なら $aX+bY\sim N(a\mu_1+b\mu_2,\ a^2\sigma_1^2+b^2\sigma_2^2)$ | 分散は係数の2乗で足す |
| 二項分布の正規近似 | $X\approx N(np,\,np(1-p))$、$P(X\le k)\approx P\!\left(Z\le\dfrac{k+0.5-np}{\sqrt{np(1-p)}}\right)$ | $\pm0.5$ が連続修正。$np$ と $n(1-p)$ が十分大きいとき |
4. 標本分布・推定
| 項目 | 公式 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 標本平均の期待値・分散 | $E[\bar{X}]=\mu$、$V[\bar{X}]=\dfrac{\sigma^2}{n}$ | 標準誤差は $\sigma/\sqrt{n}$ |
| 中心極限定理 | $\dfrac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\approx N(0,1)$ | 母集団が正規でなくても $n$ が大きければ成り立つ |
| 標本比率 | $E[\hat{p}]=p$、$V[\hat{p}]=\dfrac{p(1-p)}{n}$ | 二項分布を $n$ で割ったもの |
| 和の分布 | $\sum X_i$：平均 $n\mu$、分散 $n\sigma^2$ | 平均は $\sigma^2/n$、和は $n\sigma^2$ |
| χ²分布 | $\dfrac{(n-1)U^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1)$ | 正規母集団が前提。$\chi^2(k)$ の平均 $k$、分散 $2k$ |
| t分布 | $T=\dfrac{\bar{X}-\mu}{U/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$ | $\sigma$ を $U$ で置き換えると t 分布 |
| F分布 | $F=\dfrac{U_1^2/\sigma_1^2}{U_2^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,\,n_2-1)$ | 自由度は（分子, 分母）の順 |
| 分布どうしの関係 | $t(\nu)^2=F(1,\nu)$、$Z^2=\chi^2(1)$、$t(\infty)=N(0,1)$ | 表の値で $2.228^2\approx4.96$ などが確かめられる |
| 推定量の性質 | 不偏性 $E[\hat{\theta}]=\theta$、一致性、有効性（分散が小さい） | 平均二乗誤差 $=$ 分散 $+$（偏り）$^2$ |
| 最尤推定量の例 | ベルヌーイ：$\hat{p}=\bar{x}$、ポアソン：$\hat{\lambda}=\bar{x}$、正規：$\hat{\mu}=\bar{x}$、$\hat{\sigma}^2=s^2$ | 正規分布の分散の最尤推定量は $n$ で割るので不偏でない |
| 母平均（$\sigma$ 既知） | $\bar{x}\pm z_{\alpha/2}\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$ | 95%なら $z_{0.025}=1.96$ |
| 母平均（$\sigma$ 未知） | $\bar{x}\pm t_{\alpha/2}(n-1)\dfrac{u}{\sqrt{n}}$ | $n$ が大きければ $z$ で近似 |
| 母比率 | $\hat{p}\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$ | $n$ が大きいときの近似 |
| 母分散 | $\left[\dfrac{(n-1)u^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\ \dfrac{(n-1)u^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right]$ | 大きいχ²値で割ると下限。左右非対称 |
| 母平均の差（$\sigma_1,\sigma_2$ 既知） | $(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1}+\dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$ | 分散は足す |
| 母平均の差（等分散・未知） | $(\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)\,u_p\sqrt{\dfrac{1}{n_1}+\dfrac{1}{n_2}}$ | プールした分散 $u_p^2=\dfrac{(n_1-1)u_1^2+(n_2-1)u_2^2}{n_1+n_2-2}$ |
| 母比率の差 | $(\hat{p}_1-\hat{p}_2)\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\dfrac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_1}+\dfrac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$ | 区間推定では各群の比率をそのまま使う |
| 対応のあるデータ | 差 $d_i=x_i-y_i$ に1標本の方法を適用 | 自由度は（ペア数）$-1$ |
| 必要な標本サイズ（平均） | $n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}\,\sigma}{E}\right)^2$ | $E$ は許容する誤差（区間幅の半分）。端数は切り上げ |
| 必要な標本サイズ（比率） | $n\ge\left(\dfrac{z_{\alpha/2}}{E}\right)^2p(1-p)$ | $p$ の見当がなければ $p(1-p)\le0.25$ を使う |
| 区間幅と $n$ | 幅 $\propto 1/\sqrt{n}$ | 幅を半分にするには $n$ を4倍 |
5. 検定・χ²検定
| 項目 | 公式 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 母平均（$\sigma$ 既知） | $Z=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$ | 両側5%なら $|Z|\ge1.96$、片側5%なら $Z\ge1.645$ で棄却 |
| 母平均（$\sigma$ 未知） | $T=\dfrac{\bar{x}-\mu_0}{u/\sqrt{n}}$、自由度 $n-1$ | $u$ は不偏分散の平方根 |
| 母比率 | $Z=\dfrac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$ | 検定では分母に帰無仮説の $p_0$ を使う |
| 母分散 | $\chi^2=\dfrac{(n-1)u^2}{\sigma_0^2}$、自由度 $n-1$ | 両側なら上側と下側の両方の点を使う |
| 2標本 t 検定（等分散） | $T=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{u_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$、自由度 $n_1+n_2-2$ | $u_p^2$ はプールした分散 |
| ウェルチの検定 | $T=\dfrac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{u_1^2/n_1+u_2^2/n_2}}$ | 等分散を仮定しない。自由度は近似式で求める |
| 対応のある t 検定 | $T=\dfrac{\bar{d}}{u_d/\sqrt{m}}$、自由度 $m-1$ | $m$ はペアの数。同じ人の前後比較など |
| 2標本の母比率の差 | $Z=\dfrac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\bar{p}(1-\bar{p})(1/n_1+1/n_2)}}$ | $\bar{p}$ は2群を合わせた比率（帰無仮説 $p_1=p_2$ の下） |
| 等分散の F 検定 | $F=\dfrac{u_1^2}{u_2^2}$、自由度 $(n_1-1,\,n_2-1)$ | 大きい方を分子にすると上側の表だけで判定しやすい |
| p値 | 観測値以上に極端な値が出る確率（帰無仮説の下） | 両側検定では片側の確率を2倍 |
| 第1種の過誤 | $\alpha=P(\text{棄却}\mid H_0\text{ が真})$ | 有意水準そのもの |
| 第2種の過誤・検出力 | $\beta=P(\text{採択}\mid H_1\text{ が真})$、検出力 $1-\beta$ | $n$ を増やす・効果が大きい・$\alpha$ を大きくすると検出力は上がる |
| 検出力の計算（片側 $Z$ 検定） | $1-\beta=P\!\left(Z\ge z_{\alpha}-\dfrac{\mu_1-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$ | 棄却域の境界を $\mu_1$ の分布で標準化し直す |
| χ²統計量 | $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ | $O$ は観測度数、$E$ は期待度数。比率ではなく度数で計算 |
| 適合度検定の自由度 | $k-1-(\text{推定した母数の数})$ | $k$ はカテゴリー数 |
| 独立性の検定 | $E_{ij}=\dfrac{(\text{行和}_i)(\text{列和}_j)}{N}$、自由度 $(r-1)(c-1)$ | 期待度数はおおむね5以上が目安 |
| 2×2表の簡便式 | $\chi^2=\dfrac{N(ad-bc)^2}{(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)}$ | 自由度1。$\chi^2_{0.05}(1)=3.841=1.96^2$ |
6. 線形モデル
| 項目 | 公式 | ひとこと解説 |
|---|---|---|
| 回帰モデル | $y_i=\beta_0+\beta_1x_{i}+\varepsilon_i$、$\varepsilon_i\sim N(0,\sigma^2)$ 独立 | 誤差の正規性・等分散性・独立性が前提 |
| 最小二乗推定 | $\hat{\beta}_1=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}$、$\hat{\beta}_0=\bar{y}-\hat{\beta}_1\bar{x}$ | 残差平方和 $\sum e_i^2$ を最小にする |
| 残差 | $e_i=y_i-\hat{y}_i$ | $\sum e_i=0$。残差プロットに模様があればモデル不適合 |
| 平方和の分解 | $S_T=S_R+S_E$ | 総変動 $=$ 回帰で説明できる変動 $+$ 残差変動 |
| 決定係数 | $R^2=\dfrac{S_R}{S_T}=1-\dfrac{S_E}{S_T}$ | 説明変数を増やすと下がらない |
| 自由度調整済み決定係数 | $\bar{R}^2=1-\dfrac{S_E/(n-p-1)}{S_T/(n-1)}$ | $p$ は説明変数の数。無駄な変数を入れると下がりうる |
| 誤差分散の推定 | $\hat{\sigma}^2=\dfrac{S_E}{n-p-1}$ | 単回帰なら $n-2$ で割る |
| 回帰係数の標準誤差（単回帰） | $\mathrm{SE}(\hat{\beta}_1)=\dfrac{\hat{\sigma}}{\sqrt{S_{xx}}}$ | $x$ の散らばりが大きいほど精度が上がる |
| 係数の t 検定 | $t=\dfrac{\hat{\beta}_j}{\mathrm{SE}(\hat{\beta}_j)}$、自由度 $n-p-1$ | 回帰出力の t 値＝推定値÷標準誤差 |
| 係数の信頼区間 | $\hat{\beta}_j\pm t_{\alpha/2}(n-p-1)\,\mathrm{SE}(\hat{\beta}_j)$ | 区間が0を含まなければ両側検定で有意 |
| 回帰の F 検定 | $F=\dfrac{S_R/p}{S_E/(n-p-1)}$、自由度 $(p,\,n-p-1)$ | 単回帰では $F=t^2$ |
| 予測値 | $\hat{y}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$ | データの範囲外への外挿は危険 |
| 一元配置分散分析 | $S_T=S_A+S_E$、自由度 $N-1=(a-1)+(N-a)$ | $a$ は群の数、$N$ は全データ数 |
| 分散分析の F | $F=\dfrac{S_A/(a-1)}{S_E/(N-a)}$ | 群間の平均平方 ÷ 群内の平均平方 |
| ダミー変数 | 該当なら1、そうでなければ0 | 係数は基準カテゴリーとの平均の差 |
| 多重共線性 | 説明変数どうしの強い相関 | 係数の標準誤差が大きくなり、符号が不安定になる |
直前の使い方 表を上から眺めて、式を見たときに「何を表すか」「どの場面で使うか」がすぐに言えるかを確かめてください。言えない行だけ、該当するテーマ別記事に戻るのが効率的です。特に「$n$ と $n-1$」「分散と標準偏差」「自由度」の3点は、正しい式を知っていても本番で取り違えやすいところです。
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